已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β,其中0<α<β,求cx^2+bx+a>0的解集

由不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β可知道
ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β),且a<0
所以b=-a(α+β),c=aαβ
所以cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)
故cx^2+bx+a>0的解集等价于a(αx-1)(βx-1)>0的解集
又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α

由已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β,可以得出:
a<0
α+β=-b/a
αβ=c/a
b^2>4ac
由0<α<β还可以得到:
c<0

现考察新不等式:
cx^2+bx+a>0
设根为m,n(m<n)
则解集为:m<x<n

m,n满足

m+n=-b/c=(-b/a)(a/c)=(α+β)/αβ=1/α+1/β
mn=a/c=1/αβ
m=1/β n=1/α

cx^2+bx+a>0的解集为:
1/β<x<1/α

显然，α，β
是ax^2+bx+c=0 的两根
则a<0，
则α+β=-b/2a
αβ=c/a
0<α<β
则c<0
则（α+β）/αβ=-b/c
1/αβ=a/c

则cx^2+bx+a>0
x1+x2=-b/c
x1x2=a/c
所以cx^2+bx+a=0两根为1/α,1/β
所以，解集为1/β<X<1/α